Hur man översätter en vanlig fraktion i decimal?

Vad är fraktionen: konceptet

Fraktion - Detta är en rekord av ett antal i matematik där a и b- Nummer eller uttryck. I huvudsak är det bara en av de former där du kan presentera ett nummer. Det finns två inspelningsformat:

  • Vanlig vy - ½ eller a / b,
  • Decimalvy - 0,5.

I en vanlig fraktion över linjen är det vanligt att skriva en delning, vilket blir en täljare, och under linjen är alltid en divider som kallas nämnaren. Treatet mellan täljaren och denominatorn betyder uppdelning.

Matkomponenter

FRACI är två typer:

  1. Numerisk - består av siffror. Till exempel 5/9 eller (1,5 - 0,2) / 15.
  2. Algebraic - består av variabler. Till exempel (x + y) / (x-y). I detta fall beror fraktionsvärdet på dessa brevvärden.

Fraktionen kallas rätt När dess täljare är mindre än denominatorn. Till exempel 3/7 och 31/45.

Fel - Den som har en numerator mer nämnare eller lika med honom. Till exempel 21/4. Ett sådant tal blandas och läses som "fem så många som en fjärdedel" och spelas in - 5 1 \ 4.

Vad är en decimalfraktion

Innan vi svarar på frågan, hur man hittar en decimalfraktion, kommer vi att förstå de grundläggande definitionerna, typer av fraktioner och skillnaden mellan dem.

I decimalfraktionen är nämnaren alltid lika med 10, 100, 1000, 10 000, etc. Faktiskt, decimal- - Det här är det som det visar sig om du delar upp täljaren till denominatorn. Decimala fraktionen registreras i en linje genom kommatecken för att separera hela delen av fraktionerna. Så här:

Delar av decimalfraktioner

Finite decimalfraktion - Det här är en bråkdel där antalet nummer efter kommatecken definitivt definieras.

Oändlig decimalfraktion - Det här är när mängden siffror är oändliga efter kommatecken. För bekvämligheten av matematik, kom de överens om att runda dessa nummer till 1-3 efter kommatecken.

I en kort inspelning av periodisk fraktion skrivs de repetitiva siffrorna i parentes och kallas fraktionsperioden. Till exempel, istället för 1,555 ... skriv 1, (5) och läs "en hel och fem under perioden".

Perobi-perioden

Egenskaper av decimalfraktioner

Den viktigaste egenskapen av decimalfraktion Det låter så här: Om en decimalfraktion till höger för att tillskriva en eller flera nollor - dess värde kommer inte att förändras. Det betyder att om det i din fraktion är mycket av nollor - de kan helt enkelt kasseras. Till exempel:

  • 0,600 = 0,6.
  • 21,10200000 = 21,102
De viktigaste egenskaperna hos decimalfraktioner
  1. Fraktionen spelar ingen roll, förutsatt om delaren är noll.
  2. Fraktionen är noll, om täljaren är noll, och denominatorn är inte.
  3. Två fraktioner A / B och C / D kallas lika, om A * D = B * c.
  4. Om täljaren och denominatorn multiplicerar eller delar upp samma naturliga nummer, så är fraktionen lika med den.

Vanlig och decimalfraktion - långvariga vänner. Här, hur de är relaterade:

  • Hela delen av decimalfraktionen är lika med hela delen av den blandade fraktionen. Om täljaren är mindre än denominatorn är hela delen noll.
  • Den fraktionella delen av decimalfraktionen innehåller samma figurer som täljaren av samma fraktion i vanlig form.
  • Antalet nummer efter att kommatecken beror på antalet nollor i ventilen av den vanliga fraktionen. Det är 1-siffrigt - Divider 10, 4 nummer - Divider 10.000.

Hur man översätter den vanliga fraktionen i decimal

Innan du vet hur från den vanliga inspelningen, gå till decimalen, kom ihåg skillnaderna i två typer av fraktioner och formulera en viktig regel.

Decimala fraktioner är konstruktionerna av formen 0,5; 2,16 och -7,42. Och så ser samma nummer ut som vanliga fraktioner:

Decimalfraktioner översätter till vanliga

En vanlig fraktion kan översättas till en begränsad decimalfraktion endast under förutsättning att dess nämnare kan sönderdelas på enkla multiplikatorer 2 och 5 vilket antal gånger som helst. Till exempel:

Överför till den slutliga decimala fraktionen

Fraktionen 11/40 kan omvandlas till ett ändligt decimaltal, eftersom nämnaren viks i multiplikatorer 2 och 5.

Ett exempel på omvandling till en ändlig decimalfraktion

Fraktionen av 17/60 kan inte omvandlas till en ändlig decimalfraktion, eftersom det i sin nämnare förutom multiplikatorerna 2 och 5 är 3.

Och nu vänder vi oss till den viktigaste frågan: Tänk på flera algoritmer för överföring av vanlig fraktion i decimal.

Metod 1. Vrid nämnaren vid 10, 100 eller 1000

För att vända fraktionen i decimalen behöver du en täljare och en nämnare för att multiplicera på samma nummer så att 10, 100, 1000, etc., erhålles i nämnaren. Men innan du fortsätter till beräkningar måste du kontrollera om det är möjligt att vända denna fraktion i decimal.

Ta till exempel fraktionen 3/20. Den kan tas in i ett ändligt decimaltal, eftersom dess nämnare minskar multiplikatorerna 2 och 5.

Översätt fraktioner till finalen

Vi kan komma i botten 100: det är tillräckligt för att multiplicera 20 på 5. Glöm inte över den övre delen: vi får 15.

Skriv nu täljaren separat. Vi räknar med rätt så många tecken som noll är i nämnaren och lägger kommatecken. I vårt exempel i en denominator 100 (han har två noll) betyder det att vi lägger kommatecken efter nedräkningen av två tecken och får 0,15. Transformation är klar.

Exempel på översättning decimal

Ett annat exempel:

Hur man förstår att fraktionen kan översättas till det ultimata decimalen

Metod 2. Leverera täljaren till denominatorn

För att översätta en vanlig fraktion i decimal är det tillräckligt att separera sin övre del i botten. Det enklaste sättet att göra detta, naturligtvis, på kalkylatorn - men de får inte använda kontrollen, så vi lär oss annorlunda.

Ta till exempel fraktionen 78/100. Jag kommer att vara övertygad om att fraktionen kan komma till sista decimal.

Kolla på förmågan att överföra till den sista fraktionen

Vi delar upp täljaren på denominatorn - omvandlingen är klar:

Fraktionsomvandling till finalen

Om, när du delar det, blev det klart att processen inte slutar och upprepade siffror är upprättade - denna fraktion kan inte översättas till det slutliga decimalen. Svaret kan skrivas i form av en periodisk fraktion - för detta måste du spela in ett upprepat antal i parentes, så här: 1/3 = 0,3333 .. = 0, (3).

För bekvämligheten samlade vi ett tecken på fraktioner med denominatorer som oftast finns i matematikuppgifter. Ladda ner det till gadgeten eller skriv ut det och lagra i läroboken som ett bokmärke:

Visuellt exempel på fraktioner

Hur man översätter decimalfraktion i vanligt

Kommer inte att komma med en cykel. Faktum är att omvandlingsalgoritmen för decimalfraktionen i det vanliga är motsatt vad vi demonteras i föregående del. Här, som det ser i motsatt riktning:

  1. Jag skriver om den ursprungliga fraktionen i en ny blankett: Vi lägger det ursprungliga decimalen i täljaren, och i nämnaren - en:
    • 0,35 = 0,35 / 1
    • 2,34 = 2,34 / 1
  2. Multiplicera täljaren och denominatorn i 10 så många gånger att kommatecken försvann i täljaren. I det här fallet, efter varje multiplikation, skiftar kommatecken i täljaren till höger till ett tecken, och denominatorn är lämpligt tillsatt nollor. Exempel lättare:
    • 0,35 = 0,35 / 1 = 3,5 / 10 = 35/100
    • 2,34 = 2,34 / 1 = 23,4 / 10 = 234/100
  3. Och nu sänker vi - det är, vi delar upp täljaren och nämnaren till de flera siffrorna av dem:
    • 0,35 = 35/100, dela upp täljaren och en nämnare för fem, vi får 6/20, en gång uppdelad med 2, vi får det slutliga svaret 3/10.
    • 2.34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Glöm inte minus som svar, om ett exempel var om ett negativt tal. Mycket stötande misstag!

Minus tecken i fraktion
En annan algoritm: hur man konverterar en decimalfraktion till vanliga
  1. Beräkna hur många siffror som är efter kommatecken. Till exempel har fraktionen 0,25 två sådana nummer och 1 0211 - fyra. Beteckna detta antal brev n.
  2. Skriv om det ursprungliga numret i form av en bråkdel av formuläret A / 10. n, var a- Det här är alla siffror i den ursprungliga fraktionen, och n- Antalet nummer efter kommatecken, som vi räknade i det första steget. Med andra ord måste du dela upp siffrorna på den ursprungliga fraktionen per enhet med nnollor.
  3. Minska den resulterande fraktionen om möjligt.

Det är allt! Detta system är mycket lättare och snabbare. Kolla upp:

Decimalfraktomvandlingsalgoritm i vanligt

Som vi kan se, i fraktionen 0,55 efter kommatecken, finns det två siffror - 5 och 5. Därför, n = 2. Om du tar bort kommatecken och nollor till vänster, får vi numret 55. Vi går till Andra steget: 10n = 102 = 100, så det är värt det 100. Det är kvar att förkorta täljaren och denominatorn. Här är svaret: 11/20.

Hur man översätter en periodisk decimalfraktion i vanliga

Eventuell oändlig periodisk decimalfraktion kan översättas till vanligt. Vi kommer att analysera på exemplen.

Om fraktionsperioden är noll, kommer beslutet att bli snabbt. Den periodiska fraktionen med nollperioden ersätts med en ändlig decimalfraktion, och processen med cirkulation av en sådan fraktion reduceras till överklagandet av den slutliga decimala fraktionen.

Vi konverterar en periodisk fraktion 1,32 (0) till en vanlig.

För att göra detta, kasta nollorna till höger och vi får den sista decimala fraktionen 1,32. Följ sedan algoritmen från de föregående styckena:

Översättning av periodiska decimalfraktioner i vanliga

Det är svaret!

Om fraktionsperioden skiljer sig från noll - anser vi den periodiska delen som mängden av medlemmarna i den geometriska progressionen, som minskar. Låt oss förklara på exemplet:

0, (98) = 0,98 + 0,0098 + 0,000098 + 0,00000098 + ..

För mängden medlemmar av oändlig minskande geometrisk progression finns det en formel. Om den första termen av progressionen är lika boch denominatorn qSå att 0 <q <1 Då är mängden lika b / (1-q) .

Vi översätter den periodiska fraktionen 0, (7) till vanliga.

Vi skriver: 0, (7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 +. Vi ser en oändlig minskande geometrisk progression med den första termen på 0,7 och nämnaren 0,1. Applicera formeln: 0, (7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .. = 0,7 / (1 - 0,1) = 0,7 / 0,9 = 7/9.

Exempel på att konvertera decimalfraktioner

Översättning av decimalfraktion i en vanlig fraktion

Tänk på processen att omvandla decimalfraktioner på exemplen.

Exempel Konvertera decimalfraktion 0,45 till en vanlig fraktion

Vi konverterar 0,45 till fraktion.

Speratefraktion Skillnaderfraktioner nio sextonde minus sju tjugoårsåldernMed hjälp av att hitta den största generaldispisorn för täljaren och denominatorn och den efterföljande uppdelningen av det antal som erhållits på täljaren och denominatorn, nod (45.100) = 5.

Exempel Konvertera 0,875 till fraktion.

Visar hur man översätter en decimalfraktion till det vanliga.

Nod (875,1000) = 125

Översättning av decimalfraktion i blandad fraktion

Om decimalfraktionen är större än 1, erhålles ett blandat antal som ett resultat av transformationen. Hela delen när han översätter förblir oförändrad.

Tänk på exemplet hur man översätter ett nummer till en blandad fraktion.

Exempel Konvertera nummer 567.35 i ett blandat antal

567,35 i form av blandad fraktion.

I resultatet av omvandlingen får vi en blandad fraktion.

Exempel Översätt ett nummer 1.99 i fraktion

1,99 i form av blandad fraktion.

Andra översättningar av fraktioner.

1. Vrid nämnaren vid 10, 100 eller 1 000

Denna metod är mycket enkel, men den är inte lämplig för varje fraktion.

Till att börja med, multiplicera täljaren och denominatorn till ett sådant nummer som omvandlar den nedre delen av fraktionen 10 eller 100, 1 000 och så vidare.

Hur man översätter den vanliga fraktionen i decimal: Vrid nämnaren på 10, 100 eller 1 000

Antag att vi måste översätta fraktionen med en täljare 7 och denominatorn 25. Vi kan komma i botten 100: det är tillräckligt att multiplicera 25 med 4. Om toppen, glömmer vi inte heller: Vi får 28.

Skriv ner täljaren separat. Krama rätten i det så många tecken som du mottog i denominatorn efter multiplikation och sätt kommatecken. Detta kommer att vara den önskade decimala fraktionen.

Hur man översätter den vanliga fraktionen i Decimal: Separera semikolonerna så många siffror som det var nollor

I vårt exempel, i denominatorn 100, betyder det att vi räknar i täljaren två tecken och lägger ett komma. Vi får 0,28.

Om en sådan multiplikator inte betalar passar den aktuella metoden inte. Utnyttja följande.

2. Utöva täljaren till denominatorn

För att omvandla en konventionell fraktion i decimal är det tillräckligt att dela upp sin topp till botten. Det enklaste sättet att göra är självklart på kalkylatorn.

Om det är fundamentalt viktigt för dig att göra utan hjälpanordningar, dela helt enkelt täljaren till statusvalinatorn.

Hur man översätter fraktion i decimal: Dela täljaren till denominatorn

Till exempel översätter vi fraktionen med Nizer 7 och denominatorn 25. Släcker 7 med 25 kolumn får vi 0,28.

Viktigt ögonblick. När du delar en kolumn kan du upptäcka att processen går i en cirkel och upprepade tal faller i resultatet. I det här fallet kan denna fraktion inte översättas till ett ändligt decimaltal. Istället kommer du att ha en periodisk fraktion. För att spela in resultatet, ta ett upprepat nummer i parentes.

Om det visade sig en periodisk fraktion, ta ett upprepat nummer i parentes

Antag att det är nödvändigt att översätta fraktionen med täljare 1 och denominatorn 3. Avsluta 1 till 3 kolumner, vi får en oändlig decimalfraktion av 0,333333333 ... Vi ger det till en kort bild av 0, (3) är resultatet . Läser som "noll i hel och tre under perioden".

Hur man översätter decimalfraktion i vanligt

Här verkar det, översättningen av decimalfraktionen i det vanliga är ett elementärt ämne, men många studenter förstår det inte! Därför kommer vi idag att överväga i detalj flera algoritmer samtidigt, med hjälp av vilken du kommer att räkna ut med några fraktioner bokstavligen per sekund.

Låt mig påminna dig om att det finns minst två former av inspelning av samma fraktion: ett vanligt och decimaltal. Decimala fraktioner är alla slags konstruktioner av formen 0,75; 1,33; Och till och med -7,41. Men exempel på vanliga fraktioner som uttrycker samma nummer:

\ [0.75 = \ frac {3} {4}; \ Quad 1,33 = 1 \ frac {33} {100}; \ Quad -7,41 = -7 \ frac {41} {100} \]

Nu ska vi räkna ut det: hur man går till den vanliga rekordet från decimal? Och viktigast av allt: Hur man gör det så fort som möjligt?

Huvudalgoritmen

Faktum är att det finns minst två algoritmer. Och vi kommer nu att överväga båda. Låt oss börja med den första enkla och förståeliga.

För att översätta en decimalfraktion i en vanlig, måste du utföra tre steg:

  1. Skriv om startfraktionen i form av en ny fraktion: Källdimma kommer att förbli i täljaren, och nämnaren måste placera en enhet. I det här fallet placeras det ursprungliga talskylten också i täljaren. Till exempel:

    \ [0.75 = \ frac {0,75} {1}; \ Quad 1.33 = \ frac {1,33} {1}; \ Quad -7,41 = \ frac {-7,41} {One} \]

  2. Vi multiplicerar täljaren och denominatorn för den resulterande fraktionen 10 tills kommatecken försvinner i täljaren. Låt mig påminna dig: Med varje multiplikation med 10 skiftar kommatecken till höger till ett tecken. Naturligtvis, eftersom nämnaren också multipliceras, kommer det i stället för nummer 1 att visas 10, 100, etc. Exempel:
    Algoritm för övergången till vanliga fraktioner
  3. Slutligen minskar vi den resulterande fraktionen enligt standardschemat: Vi delar upp täljaren och nämnaren till de siffrorna de är målade. Till exempel delas i det första exemplet 0,75 = 75/100 och 75 och 100 i 25. Därför erhåller vi $ 0.75 = \ frac {75} {100} = \ frac {3 \ cdot 25} {4 \ Cdot 25} = \ frac {3} {4} $ - det är hela svaret. :)

Viktig anteckning om negativa tal. Om i det ursprungliga exemplet före decimalfraktionen finns ett "minus" -tecken, då måste vid utgången innan ett vanligt skott också vara "minus". Här är några fler exempel:

Exempel på övergång från decimalregister över fraktioner till normal

Jag skulle vilja ägna särskild uppmärksamhet åt det sista exemplet. Som vi ser, i fraktionen 0.0025 finns det många nollor efter kommatecken. På grund av detta måste du redan multiplicera täljaren och denominatorn för 10. Är det möjligt att på något sätt förenkla algoritmen i det här fallet på något sätt?

Självklart. Och nu kommer vi att överväga en alternativ algoritm - det är något mer komplicerat för uppfattning, men efter en kort övning fungerar det mycket snabbare än standard.

Snabbare sätt

I denna algoritm också 3 steg. För att få en konventionell bråkdel av decimalen måste du utföra följande:

  1. Beräkna hur många siffror som är efter kommatecken. Till exempel är fraktionen av 1,75 sådana siffror två och 0,0025 - fyra. Beteckna detta antal bokstäver $ n $.
  2. Skriv om källnumret i form av en bråkdel av formuläret $ \ frac {a} {{{10} ^ {n}}} $, där $ a $ är alla siffror på den ursprungliga fraktionen (utan "start" Zeros till vänster, om det finns), och $ n $ är antalet nummer efter kommatecken, som vi räknade i det första steget. Med andra ord är det nödvändigt att dela upp siffrorna på den ursprungliga fraktionen per enhet med $ n $ neros.
  3. Om möjligt, minska den resulterande fraktionen.

Det är allt! Vid första anblicken är detta schema mer komplicerat av den föregående. Men i själva verket är han lättare, och snabbare. Döm själv:

\ [0.64 = \ frac {64} {100} = \ frac {16} {25} \]

Som vi ser, i fraktionen 0,64 efter kommatecken, finns det två siffror - 6 och 4. Därför $ n = $ 2. Om du tar bort kommatecken och nollor till vänster (i det här fallet, bara en noll), får vi nummer 64. Gå till det andra steget: $ {{10} ^ {n}} = {{10} ^ {2 }} = $ 100, därför är det värt ett hundra i denominatorn. Tja, då är det bara att skära täljaren och denominatorn. :)

Ett annat exempel:

\ [0.004 = \ frac {4} {1000} = \ frac {1} {250} \]

Allt är mer komplicerat här. Först är siffrorna efter semikolonerna redan 3 stycken, d.v.s. $ n = $ 3, så vi måste dela på $ {{10} {{n}} = {{10} ^ {3}} = $ 1000. För det andra, om vi tar bort kommatecken från decimalposten, kommer vi att få det: 0,004 → 0004. Minns att nollor ska tas bort till vänster, så vi har ett nummer 4. Dessutom är allt enkelt: vi delar upp, skär och få svaret.

Slutligen det sista exemplet:

\ [1,88 = \ frac {188} {100} = \ frac {47} {25} = \ frac {25 + 22} {25} = 1 \ frac {22} {25} \]

Funktionen hos denna fraktion är närvaron av en hel del. Därför, vid utgången, visar vi den felaktiga fraktionen 47/25. Du kan naturligtvis försöka dela 47 med 25 med återstoden och därigenom tilldela hela delen. Men varför komplicera ditt liv, om det här kan göras på omvandlingsstadiet? Tja, låt oss förstå.

Vad ska man göra med hela delen

Faktum är att allt är väldigt enkelt: om vi vill få rätt fraktion, är det nödvändigt att ta bort hela delen av omvandlingarna från den, och då när vi får resultatet, att återuppta den till höger före a Fraktionell funktion.

Tänk till exempel samma nummer: 1,88. Vi tar en enhet (hela delen) och tittar på fraktionen 0,88. Det är enkelt ombyggt:

\ [0.88 = \ frac {88} {100} = \ frac {22} {25} \]

Då minns jag om den "förlorade" enheten och lägg till den från framsidan:

\ [\ Frac {22} {25} \ till 1 \ frac {22} {25} \]

Det är allt! Svaret visade sig vara detsamma som efter allokering av hela delen förra gången. Mer ett par exempel:

\ [\ Börja {justera} & 2,15 \ till 0.15 = \ frac {15} {100} = \ frac {3} {20} {20}; \\ & 13.8 \ till 0.8 = \ frac {8} {10} = \ frac {4} {5} \ till 13 \ frac {4} {5}. \\\ slutet {justera} \]

I detta och består av matematikens charm: Oavsett om du går, om alla beräkningar är uppfyllda korrekt, kommer svaret alltid att vara detsamma. :)

Sammanfattningsvis vill jag överväga en annan mottagning som många hjälper.

Transformation "för hörsel"

Låt oss tänka på vad som bara är en decimalfraktion. Mer exakt, som vi läser det. Till exempel, numret 0,64 - vi läser det som "noll som helhet, 64 hundratals", eller hur? Tja, eller bara "64 hundratals". Keyword här - "hundratals", d.v.s. Nummer 100.

Vad sägs om 0,004? Detta är "noll i hela, 4 tusen" eller helt enkelt "fyra tusendels". På ett eller annat sätt är sökordet "tusen", d.v.s. 1000.

Så vad är det för fel med det? Och det faktum att det är dessa nummer i slutet "pop upp" i nämnare i algoritmens andra steg. De där. 0,004 är en "fyra tusen" eller "4 dividerat med 1000":

\ [0.004 = 4: 1000 = \ frac {4} {1000} = \ frac {1} {250} \]

Försök att träna dig själv - det är väldigt enkelt. Det viktigaste är att korrekt läsa den ursprungliga fraktionen. Till exempel är 2,5 "2 heltal, 5 tiondelar", därför

\ [2,5 = 2 \ frac {5} {10} = 2 \ frac {1} {2} \]

Och cirka 1,125 är "1 hel, 125 tusen", därför

\ [1,125 = 1 \ frac {125} {1000} = 1 \ frac {1} {8} \]

I det sista exemplet kommer naturligtvis att invändas, de säger, inte varje elev är uppenbart att 1000 är uppdelad i 125. Men här måste du komma ihåg att 1000 = 10 3och 10 = 2 ∙ 5, så

\ [\ Börja {justera} & 1000 = 10 \ cdot 10 \ cdot 10 = 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 5 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ CDOT 5 \ cdot 5 = 8 \ cdot 125 \ end {align} \]

Således avvisas varje grad av dussintals endast på multiplikatorerna 2 och 5 - det är dessa multiplikatorer som måste signeras i täljaren så att allt reduceras.

På denna lektion är över. Gå till en mer komplex omvänd operation - se "Övergång från vanlig fraktion till decimal."

Se även:

  1. Jämföra fraktioner
  2. Periodiska decimalfraktioner
  3. Trial Ege 2012 daterad 7 december. Alternativ 3 (utan logaritmer)
  4. Gauss-metoden
  5. Integration i delar
  6. Uppgift B4: Valutaväxling i tre olika banker

Leave a Reply

Close