Como traduzir uma fração comum no decimal?

Qual é a fração: o conceito

Fração - Este é um registro de um número em matemática em que a и b- números ou expressões. Em essência, é apenas uma das formas em que você pode apresentar um número. Existem dois formatos de gravação:

  • Visão ordinária - ½ ou a / b,
  • Visão decimal - 0.5.

Em uma fração comum sobre a linha, é costumeiro escrever uma divisão, que se torna um numerador e abaixo da linha é sempre um divisor, que é chamado de denominador. A característica entre o numerador e o denominador significa divisão.

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O fraci é dois tipos:

  1. Numérico - consistem em números. Por exemplo, 5/9 ou (1,5 - 0,2) / 15.
  2. Algébrico - consistem em variáveis. Por exemplo, (x + y) / (x - y). Nesse caso, o valor da fração depende desses valores da letra.

A fração é chamada de direita Quando seu numerador é menor que o denominador. Por exemplo, 3/7 e 31/45.

Errado - Aquele que tem um numerador mais denominador ou igual a ele. Por exemplo, 21/4. Tal um número é misturado e lido como "cinco até um quarto" e é registrado - 5 1 \ 4.

O que é uma fração decimal

Antes de responder a pergunta, como encontrar uma fração decimal, entenderemos as definições básicas, tipos de frações e a diferença entre eles.

Na fração decimal, o denominador é sempre igual a 10, 100, 1000, 10.000, etc. Na verdade, decimal - Isso é o que acontece se dividir o numerador para o denominador. A fração decimal é registrada em uma linha através da vírgula para separar toda a parte do fracionamento. Assim:

Partes de frações decimais

Fração decimal finita - Esta é uma fração em que o número de números após a vírgula definitivamente definida.

Fração decimal infinita - É quando a quantidade de dígitos é infinita após a vírgula. Para a conveniência da matemática, eles concordaram em rodar esses números para 1-3 após a vírgula.

Em um breve registro de fração periódica, os números repetitivos são escritos entre parênteses e é chamado de período de fração. Por exemplo, em vez de 1,555 ... escreva 1, (5) e leia "um todo e cinco no período".

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Propriedades das frações decimais

A principal propriedade da fração decimal Parece assim: se uma fração decimal à direita para atribuir um ou mais zeros - seu valor não será alterado. Isso significa que, se em sua fração muitos zeros - eles podem simplesmente ser descartados. Por exemplo:

  • 0,600 = 0,6.
  • 21,110200000 = 21,102.
As principais propriedades das frações decimais
  1. A fração não importa, desde que o divisor seja zero.
  2. A fração é zero, se o numerador for zero, e o denominador não é.
  3. Duas frações A / B e C / D são chamadas iguais, se for um * d = b * c.
  4. Se o numerador e o denominador se multiplicar ou dividir o mesmo número natural, então a fração é igual a ela.

Fração ordinária e decimal - amigos de longa data. Aqui, como eles estão relacionados:

  • Toda parte da fração decimal é igual a toda a parte da fração mista. Se o numerador for menor que o denominador, toda a parte é zero.
  • A parte fracionária da fracção decimal contém os mesmos números que o numerador da mesma fração na forma ordinária.
  • O número de números após a vírgula depende do número de zeros na válvula da fração comum. Ou seja, 1 dígito - divisor 10, 4 números - divisor 10.000.

Como traduzir a fração habitual em decimal

Antes de saber como a gravação usual, vá para o decimal, lembre-se das diferenças em dois tipos de frações e formule uma regra importante.

Frações decimais são os desenhos da forma 0,5; 2,16 e -7,42. E assim os mesmos números parecem fracções comuns:

Frações decimais se traduz em comum

Uma fração comum pode ser traduzida em uma fração decimal finita somente sob a condição de que seu denominador possa ser decomposto em multiplicadores simples 2 e 5 qualquer número de vezes. Por exemplo:

Transferir para a fração decimal final

A fração 11/40 pode ser convertida em decimal finito, porque o denominador é dobrado em multiplicadores 2 e 5.

Um exemplo de conversão para uma fração decimal finita

A fração de 17/60 não pode ser convertida em uma fração decimal finita, porque em seu denominador além de multiplicadores 2 e 5, existem 3.

E agora nos voltamos para a questão mais importante: considere vários algoritmos para a transferência de fração comum no decimal.

Método 1. Gire o denominador em 10, 100 ou 1000

Para transformar a fração no decimal, você precisa de um numerador e um denominador para multiplicar no mesmo número de que 10, 100, 1000, etc., é obtido no denominador. Mas antes de prosseguir para os cálculos, você precisa verificar se é possível transformar essa fração no decimal.

Por exemplo, pegue a fração 3/20. Pode ser trazido para um decimal finito, porque seu denominador declina a multiplicadores 2 e 5.

Traduza Frações para a final

Podemos chegar no fundo 100: é o suficiente para multiplicar 20 em 5. Não se esqueça da parte superior também: nós recebemos 15.

Agora escreva o numerador separadamente. Contamos com a direita como muitos sinais como zero está no denominador e coloca a vírgula. Em nosso exemplo em um denominador 100 (ele tem dois zero), isso significa que colocamos a vírgula após a contagem regressiva de dois personagens e recebemos 0,15. A transformação está pronta.

Exemplo de decimal de tradução

Outro exemplo:

Como entender que a fração pode ser traduzida para o decimal final

Método 2. Entregue o numerador ao denominador

Para traduzir uma fração comum no decimal, basta separar sua parte superior para o fundo. A maneira mais fácil de fazer isso, é claro, na calculadora - mas eles não podem usar o controle, então estamos aprendendo de forma diferente.

Por exemplo, tome a fração 78/100. Eu estarei convencido de que a fração pode ser levada para o decimal final.

Verifique a capacidade de transferir para a fração final

Nós dividimos o numerador no denominador - a transformação está pronta:

Conversão de fração para a final

Se, ao dividir a esquina, ficou claro que o processo não termina e os números repetidos são elaborados - essa fração não pode ser traduzida para o decimal final. A resposta pode ser escrita na forma de uma fração periódica - para isso, você precisa gravar um número repetido entre parênteses, assim: 1/3 = 0.3333 .. = 0, (3).

Por conveniência, coletamos um sinal de frações com denominadores que são mais freqüentemente encontrados em tarefas matemáticas. Faça o download para o gadget ou imprima e armazene no livro didático como um marcador:

Exemplo visual de frações

Como traduzir fração decimal em comum

Não vai chegar a uma bicicleta. De fato, o algoritmo de conversão para a fração decimal no ordinário é oposto ao que desmontamos na parte anterior. Aqui, como parece na direção oposta:

  1. Eu reescrevo a fração original de uma nova forma: vamos colocar o decimal original no numerador e no denominador - um:
    • 0,35 = 0,35 / 1
    • 2.34 = 2.34 / 1
  2. Multiplique o numerador e denominador por 10 tantas vezes que a vírgula desapareceu no numerador. Neste caso, após cada multiplicação, a vírgula no numerador muda para a direita para um sinal, e o denominador é apropriadamente adicionado zeros. Exemplo mais fácil:
    • 0,35 = 0,35 / 1 = 3,5 / 10 = 35/100
    • 2,34 = 2,34 / 1 = 23,4 / 10 = 234/100
  3. E agora nós cortamos - isto é, dividimos o numerador e o denominador para os vários números deles:
    • 0,35 = 35/100, divida o numerador e um denominador para cinco, recebemos 6/20, mais uma vez divididos por 2, obtemos a resposta final 3/10.
    • 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Não se esqueça de menos em resposta, se um exemplo foi sobre um número negativo. Erro muito ofensivo!

Menos assinar na fração
Outro algoritmo: como converter uma fração decimal para ordinária
  1. Calcule quantos números são após a vírgula. Por exemplo, a fração 0,25 tem dois números, e 1.0211 - quatro. Denote este número de carta n.
  2. Reescreva o número inicial na forma de uma fração do formulário A / 10. n, Onde a- Estas são todas as figuras da fração original, e n- O número de números após a vírgula, que contamos no primeiro passo. Em outras palavras, você precisa dividir os números da fração inicial por unidade com nzeros.
  3. Reduzir a fração resultante, se possível.

Isso é tudo! Este esquema é muito mais fácil e mais rápido. Verificar:

Algoritmo de conversão de fração decimal em comum

Como podemos ver, na fração 0,55 após a vírgula, há dois dígitos - 5 e 5. Portanto, n = 2. Se você remover a vírgula e zeros à esquerda, então nós obtemos o número 55. Nós vamos para o Segundo passo: 10n = 102 = 100, por isso vale a pena 100. Lembra-se de encurtar o numerador e denominador. Aqui está a resposta: 11/20.

Como traduzir uma fração decimal periódica em comum

Qualquer infinita fração decimal periódica pode ser traduzida em comum. Vamos analisar nos exemplos.

Se o período de fração for zero, a decisão será rápida. A fração periódica com o período zero é substituída por uma fração decimal finita, e o processo de circulação de tal fração é reduzido ao apelo da fração decimal final.

Nós convertemos uma fração periódica 1.32 (0) para um comum.

Para fazer isso, jogue os zeros à direita e obtemos a fração decimal final 1.32. Em seguida, siga o algoritmo dos parágrafos anteriores:

Tradução de frações decimais periódicas em comum

Essa é a resposta!

Se o período de fração for diferente de zero - consideramos a parte periódica como a quantidade dos membros da progressão geométrica, que diminui. Vamos explicar no exemplo:

0, (98) = 0,98 + 0,0098 + 0.000098 + 0.00000098 + ..

Para a quantidade de membros da infinita progressão geométrica decrescente, há uma fórmula. Se o primeiro mandato da progressão for igual be o denominador qDe tal modo que 0 <Q <1 Então a quantidade é igual b / (1-Q) .

Nós traduzimos a fração periódica 0, (7) para ordinária.

Nós escrevemos: 0, (7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 +. Vemos uma infinita progressão geométrica decrescente com o primeiro termo de 0,7 e o denominador 0.1. Aplique a fórmula: 0, (7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .. = 0,7 / (1 - 0,1) = 0,7 / 0,9 = 7/9.

Exemplos de conversão de frações decimais

Tradução de fração decimal em uma fração comum

Considere o processo de conversão de frações decimais nos exemplos.

Exemplo Converta fração decimal 0,45 a uma fração comum

Nós convertemos 0,45 à fração.

Sperate Fraction. Diferenças fracções nove décimo sexto menos sete vinte anosCom a ajuda de encontrar o maior divisor geral do numerador e do denominador e a divisão subseqüente do número obtido no numerador e no denominador, nó (45.100) = 5.

Exemplo Converter 0.875 à fração.

Mostrando como traduzir uma fração decimal para o habitual.

Nó (875.1000) = 125

Tradução de fração decimal em fração mista

Se a fração decimal for maior que 1, então um número misto é obtido como resultado da transformação. A parte toda ao traduzir permanece inalterada.

Considere sobre o exemplo como traduzir um número em uma fração mista.

Exemplo Converter Número 567.35 em um número misto

567,35 sob a forma de fração mista.

No resultado da conversão, recebemos uma fração mista.

Exemplo Traduza um Número 1.99 na fração

1,99 na forma de fração mista.

Outras traduções de frações.

1. Gire o denominador a 10, 100 ou 1 000

Este método é muito simples, mas não é adequado para cada fração.

Para começar, multiplique o numerador e denominador a tal número que converte a parte inferior da fração 10 ou 100, 1.000 e assim por diante.

Como traduzir a fracção habitual no decimal: gire o denominador a 10, 100 ou 1 000

Suponha que precisemos traduzir a fração com um numerador 7 e o denominador 25. Podemos chegar no fundo 100: é suficiente multiplicar 25 por 4. Sobre o topo, nós também não esquecemos: nós recebemos 28.

Anote o numerador separadamente. Esprema o direito nele como muitos sinais que você recebeu no denominador após a multiplicação e colocou a vírgula. Esta será a fração decimal desejada.

Como traduzir a fração habitual no decimal: separe os ponto e vírgula quantos números eram zeros

Em nosso exemplo, no denominador 100, isso significa que contamos no numerador dois sinais e colocamos uma vírgula. Nós recebemos 0,28.

Se tal multiplicador não pagar, o método atual não se encaixa. Aproveite o seguinte.

2. Exercite o numerador para o denominador

Para transformar uma fração convencional no decimal, basta dividir o seu top para o fundo. A maneira mais fácil de fazer é, é claro, na calculadora.

Se for fundamentalmente importante para você fazer sem dispositivos auxiliares, basta dividir o numerador ao denominador de status.

Como traduzir fração no decimal: Divida o numerador para o denominador

Por exemplo, traduzimos a fração com o NIZER 7 e o denominador 25. Extingua 7 por 25 colunas, obtemos 0,28.

Momento importante. Ao dividir uma coluna, você pode descobrir que o processo entra em um círculo e números repetidos cair no resultado. Neste caso, esta fração não pode ser traduzida em um decimal finito. Em vez disso, você terá uma fração periódica. Para registrar o resultado, faça um número repetido entre parênteses.

Se acabou de uma fração periódica, pegue um número repetido entre parênteses

Suponha que seja necessário traduzir a fração com o numerador 1 e o denominador 3. Sair de 1 a 3 colunas, receberemos uma fração decimal infinita de 0.3333333333 ... Nós damos a uma curta vista de 0, (3) é o resultado . Lê como "zero de todo e três no período".

Como traduzir fração decimal em comum

Aqui, parece, a tradução da fração decimal no habitual é um tópico elementar, mas muitos alunos não entendem! Portanto, hoje vamos considerar em detalhes vários algoritmos de uma vez, com a ajuda de que você descobrirá com quaisquer frações literalmente por segundo.

Deixe-me lembrá-lo de que há pelo menos duas formas de gravação da mesma fração: um ordinário e decimal. Frações decimais são todos os tipos de construções da forma 0,75; 1.33; E até mesmo -7.41. Mas exemplos de frações comuns que expressam os mesmos números:

\ [0.75 = \ FRAC {3} {4}; \ quad 1,33 = 1 \ frac {33} {100}; \ quad -7,41 = -7 \ frac {41} {100} \]

Agora vamos descobrir: Como ir ao registro habitual do decimal? E mais importante: como torná-lo o mais rápido possível?

O Algoritmo principal

Na verdade, há pelo menos dois algoritmos. E agora vamos considerar os dois. Vamos começar com o primeiro simples e compreensível.

Para traduzir uma fração decimal em um comum, você precisa realizar três etapas:

  1. Reescreva a fração inicial na forma de uma nova fração: a decimal da fonte permanecerá no numerador, e o denominador precisa colocar uma unidade. Nesse caso, o sinal de número inicial também é colocado no numerador. Por exemplo:

    \ [0.75 = \ frac {0,75} {1}; \ quad 1.33 = \ frac {1,33} {1}; \ quad -7,41 = \ frac {-7,41} {um} \]

  2. Nós multiplicamos o numerador e denominador da fração resultante 10 até que a vírgula desapareça no numerador. Deixe-me lembrá-lo: com cada multiplicação por 10, a vírgula muda para o direito a um sinal. Claro, desde que o denominador também é multiplicado, em vez do número 1 aparecerá 10, 100, etc. Exemplos:
    Algoritmo para a transição para frações comuns
  3. Finalmente, reduzimos a fração resultante de acordo com o esquema padrão: dividimos o numerador e o denominador para esses números que são pintados. Por exemplo, no primeiro exemplo, 0,75 = 75/100, e 75, e 100 são divididos em 25. Portanto, obtemos $ 0.75 = \ FRAC {75} {100} = \ Frac {3 \ Cdot 25} {4 \ CDOT 25} = \ frac {3} {4} $ - essa é a resposta inteira :)

Nota importante em números negativos. Se no exemplo original antes da fracção decimal, há um sinal "menos", na saída antes de um tiro comum, também deve ser "menos". Aqui estão mais alguns exemplos:

Exemplos de transição de registros decimais de frações para normal

Eu gostaria de prestar atenção especial ao último exemplo. Como vemos, na fração 0.0025 há muitos zeros após a vírgula. Por causa disso, você já tem que multiplicar o numerador e o denominador para 10. É possível de alguma forma simplificar o algoritmo neste caso de alguma forma?

É claro. E agora vamos considerar um algoritmo alternativo - é um pouco mais complicado para a percepção, mas depois de uma prática curta funciona muito mais rápido que o padrão.

Maneira mais rápida

Neste algoritmo também 3 passos. Para obter uma fração convencional do decimal, você precisa executar o seguinte:

  1. Calcule quantos números são após a vírgula. Por exemplo, a fração de 1,75 tais números são dois e 0,0025 - quatro. Denote este número de letra $ n $.
  2. Reescreva o número de origem sob a forma de uma fração do formulário $ \ frac {} {{{10} ^ {n}}} $, em que $ a $ é todo o número da fração original (sem o "início" Zeros à esquerda, se houver), e $ n $ é o número de números após a vírgula, que contamos no primeiro passo. Em outras palavras, é necessário dividir os números da fração inicial por unidade com $ n $ zeros.
  3. Se possível, reduza a fração resultante.

Isso é tudo! À primeira vista, este esquema é mais complicado pelo anterior. Mas na verdade ele é mais fácil e mais rápido. Julgar por si mesmo:

\ [0.64 = \ frac {64} {100} = \ frac {16} {25} \]

Como vemos, na fração 0,64 após a vírgula, há dois dígitos - 6 e 4. Portanto $ n = $ 2. Se você remover a vírgula e zeros à esquerda (nesse caso, apenas um zero), obtemos o número 64. Vá para a segunda etapa: $ {{10} ^ {n}} = {{10} ^ {2 }} = $ 100, portanto, vale cem no denominador. Bem, então permanece apenas para cortar o numerador e denominador. :)

Mais um exemplo:

\ [0.004 = \ frac {4} {1000} = \ frac {1} {250} \]

Tudo é mais complicado aqui. Primeiro, os números após os ponto e vírgula já são 3 peças, isto é. $ n = $ 3, então teremos que dividir em $ {{10} ^ {n}} = {{10} ^ {3}} = $ 1000. Em segundo lugar, se removermos a vírgula do registro decimal, então vamos obtê-lo: 0,004 → 0004. Lembre-se que os zeros devem ser removidos à esquerda, por isso temos um número 4. Além disso, tudo é simples: nós dividimos, cortamos e obter a resposta.

Finalmente, o último exemplo:

\ [1,88 = \ frac {188} {100} = {25} {25} = \ frac {25 + 22} {25} = 1 \ frac {22} {25} \]

A característica desta fração é a presença de uma peça inteira. Portanto, na saída, nós somos a fração errada 47/25. Você pode, claro, tentar dividir 47 por 25 com o resíduo e, portanto, novamente alocar toda a parte. Mas por que complicar sua vida, se isso puder ser feito no estágio de transformação? Bem, vamos entender.

O que fazer com toda a parte

Na verdade, tudo é muito simples: se quisermos obter a fração certa, é necessário remover toda a parte das transformações, e quando obtivermos o resultado, para adicioná-lo à direita antes de um característica fracionada.

Por exemplo, considere o mesmo número: 1.88. Nós tomamos uma unidade (parte inteira) e olhamos para a fração 0,88. É facilmente convertido:

\ [0.88 = \ frac {88} {100} = \ frac {22} {25} \]

Então eu me lembro sobre a unidade "perdida" e adicioná-la da frente:

\ [\ Frac {22} {25} \ a 1 \ frac {22} {25} \]

Isso é tudo! A resposta acabou por ser a mesma que depois de alocar toda a parte da última vez. Mais alguns exemplos:

\ [\ begin {alinhar} e 2,15 \ a 0,15 = \ frac {15} {100} = {3} {20} \ a 2 \ frac {3} {20}; \\ & 13.8 \ a 0,8 = \ frac {8} {10} = \ frac {4} {5} \ a 13 \ frac {4} {5}. \\\ final {alinhar} \]

Neste e consiste no charme da matemática: o que você for, se todos os cálculos forem cumpridos corretamente, a resposta será sempre a mesma. :)

Em conclusão, gostaria de considerar outra recepção que muitos ajudam.

Transformação "para audição"

Vamos pensar sobre o que é apenas uma fração decimal. Mais precisamente, como lemos. Por exemplo, o número 0.64 - nós lemos como "zero como um todo, 64 centésimos", certo? Bem, ou apenas "64 centésimos". Palavra-chave aqui - "centésimos", isto é. Número 100.

Que tal 0,004? Isso é "zero de todo, 4 milésimos" ou simplesmente "quatro milésimos". De uma forma ou de outra, a palavra-chave é "milésimo", isto é. 1000.

Então, o que há de errado com isso? E o fato de que são esses números no final "pop up" em denominadores na segunda etapa do algoritmo. Aqueles. 0,004 é um "quatro mil" ou "4 dividido por 1000":

\ [0,004 = 4: 1000 = \ frac {4} {1000} = \ frac {1} {250} \]

Tente praticar a si mesmo - é muito simples. O principal é ler corretamente a fração original. Por exemplo, 2.5 é "2 inteiros, 5 décimos", portanto

\ [2.5 = 2 \ frac {5} {10} = 2 \ frac {1} {2} \]

E um pouco de 1.125 é "1 todo, 125 mil", portanto

\ [1,125 = 1 \ frac {125} {1000} = 1 \ frac {1} {8} \]

No último exemplo, é claro, alguém se opuserá, eles dizem, nem todo aluno é óbvio que 1000 é dividido em 125. Mas aqui você precisa lembrar que 1000 = 10 3e 10 = 2 ∙ 5, então

\ [\ begin {alinhar} e 1000 = 10 \ cdot 10 \ cdot 10 = 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 5 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ Cdot 5 \ Cdot 5 = 8 \ Cdot 125 \ final {alinhar} \]

Assim, qualquer grau de dúzias é recusado apenas nos multiplicadores 2 e 5 - São esses multiplicadores que precisam ser assinados no numerador para que tudo seja reduzido.

Nesta lição acabou. Vá para uma operação reversa mais complexa - veja "Transição da fração comum para decimal".

Veja também:

  1. Compare frações
  2. Frações decimais periódicas
  3. Trial EGE 2012 Datada 7 de dezembro. Opção 3 (sem logaritmos)
  4. Método Gauss.
  5. Integração em partes
  6. Tarefa B4: Câmbio em três bancos diferentes

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