¿Cómo traducir una fracción ordinaria en decimal?

¿Cuál es la fracción: el concepto?

Fracción - Este es un registro de un número en matemáticas en las que a и b- Números o expresiones. En esencia, es solo una de las formas en las que puede presentar un número. Hay dos formatos de grabación:

  • Vista ordinaria - ½ o A / B,
  • Vista decimal - 0.5.

En una fracción ordinaria sobre la línea, es habitual escribir una división, que se convierte en un numerador, y debajo de la línea es siempre un divisor, que se llama el denominador. El rasgo entre el numerador y el denominador significa división.

Componentes de alimentos

El Fraci es dos tipos:

  1. Numérico - consiste en números. Por ejemplo, 5/9 o (1.5 - 0.2) / 15.
  2. Algebraico - consiste en variables. Por ejemplo, (x + y) / (x - y). En este caso, el valor de la fracción depende de estos valores de letras.

La fracción se llama la derecha. Cuando su numerador es menor que el denominador. Por ejemplo, 3/7 y 31/45.

Equivocado - El que tiene un numerador más denominador o igual a él. Por ejemplo, 21/4. Dicho número se mezcla y lee como "cinco hasta un cuarto", y se registra - 5 1 \ 4.

¿Qué es una fracción decimal?

Antes de responder a la pregunta, cómo encontrar una fracción decimal, entenderemos las definiciones básicas, los tipos de fracciones y la diferencia entre ellos.

En la fracción decimal, el denominador es siempre igual a 10, 100, 1000, 10,000, etc. De hecho, decimal - Esto es lo que resulta si divide el numerador al denominador. La fracción decimal se registra en una línea a través de la coma para separar toda la parte del fraccionario. Me gusta esto:

Partes de las fracciones decimales

Fracción decimal finita - Esta es una fracción en la que el número de números después de la coma definitivamente definió.

Fracción decimal infinita - Esto es cuando la cantidad de dígitos es infinita después de la coma. Para la conveniencia de las matemáticas, acordaron redundar estos números a 1-3 después de la coma.

En una breve grabación de fracción periódica, los números repetitivos están escritos entre paréntesis y se llama el período de fracción. Por ejemplo, en lugar de 1.555 ... escribir 1, (5) y leer "uno y cinco en el período".

Perobi perobi

Propiedades de las fracciones decimales

La propiedad principal de la fracción decimal. Parece esto: si una fracción decimal en la derecha para atribuir uno o más ceros, su valor no cambiará. Esto significa que si está en su fracción, muchos ceros, simplemente pueden ser descartados. Por ejemplo:

  • 0,600 = 0.6.
  • 21.10200000 = 21,102
Las principales propiedades de las fracciones decimales.
  1. La fracción no importa, proporcionada si el divisor es cero.
  2. La fracción es cero, si el numerador es cero, y el denominador no lo es.
  3. Dos fracciones A / B y C / D se llaman igual, si A * D = B * C.
  4. Si el numerador y el denominador se multiplican o dividen el mismo número natural, entonces la fracción es igual a ella.

Fracción ordinaria y decimal - amigos de larga data. Aquí, cómo están relacionados:

  • La parte entera de la fracción decimal es igual a toda la parte de la fracción mixta. Si el numerador es menor que el denominador, entonces toda la parte es cero.
  • La parte fraccionaria de la fracción decimal contiene las mismas figuras que el numerador de la misma fracción en forma ordinaria.
  • El número de números después de que la coma depende del número de ceros en la válvula de la fracción ordinaria. Es decir, 1 dígito - divisor 10, 4 números - divisor 10,000.

Cómo traducir la fracción habitual en decimal

Antes de saber, cómo de la grabación habitual, vaya al decimal, recuerde las diferencias en dos tipos de fracciones y formular una regla importante.

Las fracciones decimales son los diseños del formulario 0.5; 2,16 y -7.42. Y así, los mismos números se ven como fracciones ordinarias:

Fracciones decimales se traducen en ordinarias

Una fracción ordinaria se puede traducir a una fracción decimal finita solo bajo la condición de que su denominador se puede descomponer en multiplicadores simples 2 y 5 en cualquier número de veces. Por ejemplo:

Transferencia a la fracción decimal final.

La fracción 11/40 se puede convertir a un decimal finito, porque el denominador se pliega en multiplicadores 2 y 5.

Un ejemplo de conversión a una fracción decimal finita.

La fracción de 17/60 no se puede convertir a una fracción decimal finita, ya que en su denominador, además de los multiplicadores 2 y 5, hay 3.

Y ahora recurrimos a la pregunta más importante: considere varios algoritmos para la transferencia de fracción ordinaria en decimal.

Método 1. Gire el denominador a 10, 100 o 1000

Para convertir la fracción en el decimal, necesita un numerador y un denominador para multiplicarse en el mismo número para que se obtienen 10, 100, 1000, etc., en el denominador. Pero antes de continuar con los cálculos, debe verificar si es posible convertir esta fracción en decimal.

Por ejemplo, tomar la fracción 3/20. Se puede llevar a un decimal finito, porque su denominador se reduce a los multiplicadores 2 y 5.

Traducir fracciones a la final

Podemos llegar a la parte inferior 100: es suficiente para multiplicar 20 en 5. No olvide la parte superior: obtenemos 15.

Ahora escribe el numerador por separado. Contamos con la derecha tantos signos, ya que el cero está en el denominador, y ponemos la coma. En nuestro ejemplo en un denominador 100 (tiene dos cero), significa que ponemos la coma después de la cuenta regresiva de dos personajes y obtendramos 0.15. La transformación está lista.

Ejemplo de decimal de traducción

Otro ejemplo:

Cómo entender que la fracción se puede traducir al decimal definitivo.

Método 2. Entregar el numerador al denominador

Para traducir una fracción ordinaria en decimal, es suficiente para separar su parte superior a la parte inferior. La forma más fácil de hacer esto, por supuesto, en la calculadora, pero no se les permite usar el control, por lo que estamos aprendiendo de manera diferente.

Por ejemplo, tomar la fracción 78/100. Estaré convencido de que la fracción se puede llevar al decimal final.

Compruebe la capacidad de transferir a la fracción final.

Dividimos el numerador en el denominador: la transformación está lista:

Conversión de la fracción a la final.

Si, al dividir la esquina, quedó claro que el proceso no termina y se elabora números repetidos, esta fracción no se puede traducir al decimal final. La respuesta se puede escribir en forma de una fracción periódica: para esto, debe grabar un número repetido entre paréntesis, como este: 1/3 = 0.3333 .. = 0, (3).

Por conveniencia, recogimos un signo de fracciones con denominadores que se encuentran con más frecuencia en las tareas matemáticas. Descárguelo al gadget o imprima y almacene en el libro de texto como marcador:

Ejemplo visual de fracciones.

Cómo traducir la fracción decimal en ordinaria

No se encontrará con una bicicleta. De hecho, el algoritmo de conversión para la fracción decimal en el ordinario es opuesta a lo que nos desmontamos en la parte anterior. Aquí, como se ve en la dirección opuesta:

  1. Reescribo la fracción original en un nuevo formulario: pondremos el decimal original en el numerador, y en el denominador, uno:
    • 0.35 = 0.35 / 1
    • 2.34 = 2.34 / 1
  2. Multiplique el numerador y el denominador durante 10 veces que la coma desapareció en el numerador. En este caso, después de cada multiplicación, la coma en el numerador se desplaza hacia la derecha a un signo, y el denominador se agrega adecuadamente a los ceros. Ejemplo más fácil:
    • 0.35 = 0.35 / 1 = 3.5 / 10 = 35/100
    • 2.34 = 2.34 / 1 = 23.4 / 10 = 234/100
  3. Y ahora cortamos, es decir, dividimos al numerador y al denominador a los números múltiples de ellos:
    • 0.35 = 35/100, divida el numerador y un denominador para cinco, obtenemos 6/20, una vez más divididos por 2, obtenemos la respuesta final 3/10.
    • 2.34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

No se olvide de menos en respuesta, si un ejemplo fue sobre un número negativo. ¡Error muy ofensivo!

Menos firme en la fracción
Otro algoritmo: cómo convertir una fracción decimal a ordinaria.
  1. Calcule cuántos números están después de la coma. Por ejemplo, la fracción 0.25 tiene dos tales números, y 1,0211 - cuatro. Denota este número de letra n.
  2. Reescribe el número inicial en forma de una fracción del formulario. A / 10. n, donde a- Estas son todas las figuras de la fracción original, y n- El número de números después de la coma, que contamos en el primer paso. En otras palabras, debe dividir los números de la fracción inicial por unidad con nceros.
  3. Reduce la fracción resultante si es posible.

¡Eso es todo! Este esquema es mucho más fácil y más rápido. Cheque:

Algoritmo de conversión de fracción decimal en ordinario

Como podemos ver, en la fracción 0.55 después de la coma, hay dos dígitos - 5 y 5. Por lo tanto, n = 2. Si elimina la coma y los ceros a la izquierda, entonces obtenemos el número 55. Vamos a la Segundo paso: 10n = 102 = 100, por lo que vale la pena 100. Queda por acortar el numerador y el denominador. Aquí está la respuesta: 11/20.

Cómo traducir una fracción decimal periódica en ordinaria

Cualquier fracción decimal periódica infinita puede traducirse en ordinaria. Analizaremos en los ejemplos.

Si el período de fracción es cero, entonces la decisión será rápidamente. La fracción periódica con el período cero se reemplaza por una fracción decimal finita, y el proceso de circulación de dicha fracción se reduce a la apelación de la fracción decimal final.

Convirtimos una fracción periódica 1.32 (0) a una ordinaria.

Para hacer esto, lanza los ceros a la derecha y obtenemos la fracción decimal final 1.32. A continuación, siga el algoritmo de los párrafos anteriores:

Traducción de fracciones decimales periódicas en ordinario.

¡Esa es la respuesta!

Si el período de fracción es diferente de cero, consideramos la parte periódica como la cantidad de los miembros de la progresión geométrica, que disminuye. Expliquemos en el ejemplo:

0, (98) = 0.98 + 0.0098 + 0.000098 + 0.00000098 + ..

Por la cantidad de miembros de la reducción interminable de progresión geométrica, hay una fórmula. Si el primer término de la progresión es igual b, y el denominador. qTal, que 0 <q <1 Entonces la cantidad es igual B / (1-Q) .

Traducimos la fracción periódica 0, (7) a ordinaria.

Escribimos: 0, (7) = 0.7 + 0.07 + 0.007 +. Vemos una progresión geométrica infinita decreciente con el primer término de 0.7 y el denominador 0.1. Aplique la fórmula: 0, (7) = 0.7 + 0.07 + 0.007 + .. = 0.7 / (1 - 0.1) = 0.7 / 0.9 = 7/9.

Ejemplos de conversión de fracciones decimales.

Traducción de la fracción decimal en una fracción ordinaria.

Considere el proceso de convertir las fracciones decimales en los ejemplos.

Ejemplo Convertir la fracción decimal 0.45 a una fracción ordinaria

Convertimos 0.45 a la fracción..

Fracción de escarabajo Diferencias Fracciones nueve dieciséis menos siete años veinteCon la ayuda de encontrar el divisor general general del numerador y el denominador y la división posterior del número obtenido en el numerador y el denominador, nodo (45,100) = 5.

Ejemplo Convertir 0.875 a la fracción.

Mostrando cómo traducir una fracción decimal a lo habitual..

Nodo (875,1000) = 125

Traducción de la fracción decimal en fracción mixta.

Si la fracción decimal es mayor que 1, entonces se obtiene un número mixto como resultado de la transformación. La parte entera cuando se traduce permanece sin cambios.

Considere el ejemplo de cómo traducir un número en una fracción mixta.

Ejemplo Convertir el número 567.35 en un número mixto

567.35 En forma de fracción mixta..

En el resultado de la conversión, obtenemos una fracción mixta.

Ejemplo Traducir un número 1.99 en fracción

1.99 en forma de fracción mixta..

Otras traducciones de fracciones.

1. Gire el denominador a las 10, 100 o 1 000

Este método es muy simple, pero no es adecuado para cada fracción.

Para empezar, multiplique el numerador y el denominador a un número que convierta la parte inferior de la fracción 10 o 100, 1,000 y así sucesivamente.

Cómo traducir la fracción habitual en decimal: gire el denominador a 10, 100 o 1 000

Supongamos que necesitamos traducir la fracción con un numerador 7 y el denominador 25. Podemos llegar a la parte inferior 100: es suficiente para multiplicar 25 por 4. Sobre la parte superior, tampoco olvidamos: obtenemos 28.

Escriba el numerador por separado. Exprime la derecha en él tantos signos como recibió en el denominador después de la multiplicación, y ponga la coma. Esta será la fracción decimal deseada.

Cómo traducir la fracción habitual en decimal: separe los punto y coma tantos números, ya que fueron ceros

En nuestro ejemplo, en el denominador 100, significa que contamos en el numerador dos signos y colocamos una coma. Obtenemos 0.28.

Si tal multiplicador no paga, el método actual no se ajusta. Aproveche lo siguiente.

2. Ejercer el numerador al denominador.

Para transformar una fracción convencional en decimal, es suficiente para dividir su parte superior a la parte inferior. La forma más fácil de hacer es, por supuesto, en la calculadora.

Si es fundamentalmente importante que lo realice sin dispositivos auxiliares, simplemente divida el numerador al denominador de estado.

Cómo traducir la fracción en decimal: divida el numerador al denominador

Por ejemplo, traducimos la fracción con el Nizer 7 y el denominador 25. Extece 7 por 25 columnas, obtenemos 0.28.

Momento importante Al dividir una columna, puede encontrar que el proceso va en un círculo y los números repetidos caen en el resultado. En este caso, esta fracción no se puede traducir a un decimal finito. En su lugar, tendrás una fracción periódica. Para registrar el resultado, tome un número repetido entre paréntesis.

Si resultó una fracción periódica, tome un número repetido entre paréntesis

Supongamos que es necesario traducir la fracción con el numerador 1 y el denominador 3. Salir de 1 a 3 columnas, obtendremos una fracción decimal infinita de 0.33333333333 ... le damos a una visión corta de 0, (3) es el resultado . Lee como "cero de total y tres en el período".

Cómo traducir la fracción decimal en ordinaria

Aquí, parece que, la traducción de la fracción decimal en lo habitual es un tema elemental, ¡pero muchos estudiantes no lo entienden! Por lo tanto, hoy consideraremos en detalle varios algoritmos a la vez, con la ayuda de los cuales averiguará con cualquier fracciones literalmente por segundo.

Permítanme recordarle que hay al menos dos formas de grabación de la misma fracción: un ordinario y decimal. Las fracciones decimales son todo tipo de construcciones del Formulario 0.75; 1.33; E incluso -7.41. Pero ejemplos de fracciones ordinarias que expresan los mismos números:

\ [0.75 = \ frac {3} {4}; \ quad 1,33 = 1 \ frac {33} {100}; \ quad -7,41 = -7 \ frac {41} {100} \]

Ahora lo resolveremos: ¿Cómo ir al registro habitual de decimal? Y lo más importante: ¿cómo hacerlo lo más rápido posible?

El algoritmo principal

De hecho, hay al menos dos algoritmos. Y ahora consideraremos ambos. Empecemos con el primero simple y comprensible.

Para traducir una fracción decimal en una ordinaria, debe realizar tres pasos:

  1. Reescribe la fracción de arranque en forma de una nueva fracción: la fuente decimal permanecerá en el numerador, y el denominador debe colocar una unidad. En este caso, el signo de número inicial también se coloca en el numerador. Por ejemplo:

    \ [0.75 = \ frac {0.75} {1}; \ quad 1.33 = \ frac {1,33} {1}; \ quad -7,41 = \ frac {-7,41} {one} \]

  2. Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción resultante 10 hasta que la coma desaparece en el numerador. Permítanme recordarle: con cada multiplicación por 10, la coma se desplaza hacia la derecha a un signo. Por supuesto, dado que el denominador también se multiplica, en lugar del número 1 aparecerá 10, 100, etc. Ejemplos:
    Algoritmo para la transición a fracciones ordinarias.
  3. Finalmente, reducimos la fracción resultante de acuerdo con el esquema estándar: dividimos al numerador y al denominador a esos números que están pintados. Por ejemplo, en el primer ejemplo, 0.75 = 75/100, y 75, y 100 se dividen en 25. Por lo tanto, obtenemos $ 0.75 = \ frac {75} {100} = \ frac {3 \ CDOT 25} {4 \ CDOT 25} = \ FRAC {3} {4} $ - Esa es la respuesta completa. :)

Nota importante sobre números negativos. Si está en el ejemplo original antes de la fracción decimal, hay un signo "menos", luego en la salida antes de un disparo ordinario, debe ser "menos". Aquí hay algunos más ejemplos:

Ejemplos de transición de registros decimales de fracciones a la normalidad.

Me gustaría prestar especial atención al último ejemplo. Como vemos, en la fracción 0.0025 hay muchos ceros después de la coma. Debido a esto, ya tiene que multiplicar el numerador y el denominador para 10. ¿Es posible simplificar de alguna manera el algoritmo en este caso de alguna manera?

Por supuesto. Y ahora consideraremos un algoritmo alternativo: es ligeramente más complicado para la percepción, pero después de una práctica corta, funciona mucho más rápido que el estándar.

Camino más rápido

En este algoritmo también 3 pasos. Para obtener una fracción convencional del decimal, debe realizar lo siguiente:

  1. Calcule cuántos números están después de la coma. Por ejemplo, la fracción de 1.75 dichos números son dos, y 0.0025 a cuatro. Denota este número de letra $ n $.
  2. Reescribe el número de origen en forma de una fracción del formulario $ \ frac {a} {{{10} ^ {n}}} $, donde $ A $ son todos los números de la fracción original (sin el "inicio" Los ceros a la izquierda, si lo hay), y $ n $ es el número de números después de la coma, que contamos en el primer paso. En otras palabras, es necesario dividir los números de la fracción inicial por unidad con $ n $ ceros.
  3. Si es posible, reducir la fracción resultante.

¡Eso es todo! A primera vista, este esquema es más complicado por el anterior. Pero de hecho, él es más fácil, y más rápido. Juez para ti mismo:

\ [0.64 = \ frac {64} {100} = \ frac {16} {25} \]

Como vemos, en la fracción 0.64 después de la coma, hay dos dígitos - 6 y 4. Por lo tanto, $ n = $ 2. Si elimina la coma y los ceros a la izquierda (en este caso, solo uno cero), obtenemos el número 64. Vaya al segundo paso: $ {{10} ^ {N}} = {{10} ^ {2 }} = $ 100, por lo tanto, vale cien en el denominador. Bueno, entonces permanece solo para cortar el numerador y el denominador. :)

Un ejemplo más:

\ [0.004 = \ frac {4} {1000} = \ frac {1} {250} \]

Todo es más complicado aquí. Primero, los números después de los punto y coma ya son 3 piezas, es decir,. $ n = $ 3, por lo que tendremos que dividir en $ {{10} ^ {n}} = {{10} ^ {3}} = $ 1000. En segundo lugar, si eliminamos la coma del registro decimal, lo obtendremos: 0.004 → 0004. Recordar que los ceros deben eliminarse a la izquierda, por lo que tenemos un número 4. Además, todo es simple: dividimos, cortamos y obtener la respuesta

Finalmente, el último ejemplo:

\ [1,88 = \ frac {188} {100} = \ frac {47} {25} = \ frac {25 + 22} {25} = 1 \ frac {22} {25} \]

La característica de esta fracción es la presencia de una parte entera. Por lo tanto, en la salida, resultamos la fracción equivocada 47/25. Por supuesto, puede intentar dividir 47 por 25 con el residuo y así volver a asignar toda la parte. Pero, ¿por qué complicar su vida, si esto se puede hacer en la etapa de transformación? Bueno, entendamos.

Qué hacer con toda la parte.

De hecho, todo es muy simple: si queremos obtener la fracción correcta, entonces es necesario eliminar toda la parte de las transformaciones de él, y luego, cuando obtenemos el resultado, para volver a agregarlo a la derecha antes de un característica fraccionada.

Por ejemplo, considere el mismo número: 1.88. Tomamos una unidad (parte total) y nos fijamos en la fracción 0.88. Se convierte fácilmente:

\ [0.88 = \ frac {88} {100} = \ frac {22} {25} \]

Luego, recuerdo sobre la unidad "perdida" y agregármela desde el frente:

\ [\ Frac {22} {25} \ a 1 \ frac {22} {25} \]

¡Eso es todo! La respuesta resultó ser la misma que después de asignar toda la parte la última vez. Más un par de ejemplos:

\ [\ comienzan {align} y 2,15 \ a 0.15 = \ frac {15} {100} = \ frac {3} {20} \ a 2 \ frac {3} {20}; \\ & 13.8 \ a 0.8 = \ frac {8} {10} = \ frac {4} {5} \ a 13 \ frac {4} {5}. \\\ final {align} \]

En esto y consiste en el encanto de las matemáticas: lo que sea que vaya, si todos los cálculos se cumplen correctamente, la respuesta siempre será la misma. :)

En conclusión, me gustaría considerar otra recepción que muchas ayuda.

Transformación "para escuchar"

Pensemos en lo que es solo una fracción decimal. Más precisamente, como lo leemos. Por ejemplo, el número 0.64: ​​lo leemos como "cero en su conjunto, 64 centésimas", ¿verdad? Bueno, o simplemente "64 centésimas". Palabra clave aquí - "centésimas", es decir, Número 100.

¿Qué pasa con 0.004? Esto es "cero de todo, 4 milésimas" o simplemente "cuatro milésimas". De una forma u otra, la palabra clave es "milésima", es decir, 1000.

Entonces, ¿qué pasa con eso? Y el hecho de que son estos números al final "Pop Up" en denominadores en la segunda etapa del algoritmo. Esos. 0.004 es un "cuatro mil" o "4 dividido por 1000":

\ [0.004 = 4: 1000 = \ FRAC {4} {1000} = \ frac {1} {250} \]

Intenta practicarte a ti mismo, es muy simple. Lo principal es leer correctamente la fracción original. Por ejemplo, 2.5 es "2 enteros, 5 décimas", por lo tanto

\ [2.5 = 2 \ frac {5} {10} = 2 \ frac {1} {2} \]

Y un poco de 1.125 es "1 entero, 125 mil", por lo tanto

\ [1,125 = 1 \ frac {125} {1000} = 1 \ frac {1} {8} \]

En el último ejemplo, por supuesto, alguien se opondrá, dicen, no todos los estudiantes son obvios que 1000 se divide en 125. Pero aquí debes recordar que 1000 = 10 3, y 10 = 2 ∙ 5, por lo que

\ [\ comienzan {align} & 1000 = 10 \ CDOT 10 \ CDOT 10 = 2 \ CDOT 5 \ CDOT 2 \ CDOT 5 \ CDOT 2 \ CDOT 5 = \\ & = 2 \ CDOT 2 \ CDOT 2 \ CDOT 5 \ CDOT 5 \ CDOT 5 = 8 \ CDOT 125 \ End {align} \]

Por lo tanto, cualquier grado de docena se rechaza solo en los multiplicadores 2 y 5: son estos multiplicadores que deben firmarse en el numerador para que todo se reduzca.

En esta lección ha terminado. Vaya a una operación inversa más compleja: consulte "Transición de la fracción ordinaria a decimal".

Ver también:

  1. Comparar fracciones
  2. Fracciones decimales periódicas
  3. Prueba EGE 2012 del 7 de diciembre. Opción 3 (sin logaritmos)
  4. Método de gauss
  5. Integración en partes
  6. Tarea B4: Cambio de moneda en tres bancos diferentes

Leave a Reply

Close